A beleza da Matemática

"Os padrões criados pelo matemático, como os do pintor ou do poeta, devem ser belos; as ideias, como as cores ou as palavras, devem se encaixar de um modo harmonioso. A beleza é o primeiro desafio: não existe lugar permanente no mundo para a matemática feia". G. H. Hardy


Since 06/06/2013

quinta-feira, 18 de julho de 2013

Homenagem do Língua Afiada aos robôs! ☺

Simples assim...

Alvo Liberado.

Limpa assim:


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quinta-feira, 11 de julho de 2013

Página de erro - Língua Afiada

Nossa simulação de link quebrado.

Clique nos botões abaixo:

       

HTTP 404
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

O erro 404 é um código de resposta HTTP que indica que o cliente pôde comunicar com o servidor, mas ou o servidor não pôde encontrar o que foi pedido, ou foi configurado para não cumprir o pedido e não revelar a razão ou a página não existe mais. Eles não devem ser confundidos com outros erros nos quais uma conexão para o servidor de destino não pôde ser feita.

Avaliação

Durante uma comunicação via HTTP, é solicitado a um servidor responder a uma requisição, como a de um navegador para um documento de HTML, com um código de resposta numérico e uma mensagem opcional, mandatória, ou proibitória (baseada no código de status). No código 404, o primeiro "4" indica um "erro de cliente" (ou seja, de quem solicitou a página ao servidor), como uma URL mal digitada. Os dois dígitos seguintes indicam o erro específico ("Não Encontrado"). O uso de códigos de http de três dígitos é semelhante ao uso de tais códigos em protocolos anteriores, como FTP e NNTP.

Um erro 404 é mostrado frequentemente quando páginas foram movidas ou apagadas. No primeiro caso, uma resposta melhor seria exibir a mensagem de erro 301 (Movido Permanentemente), que pode ser configurada na maioria dos arquivos de configuração de servidor, ou reescrevendo a URL; no segundo caso, a mensagem 410 (Perdido) poderia ser exibida. Por estas duas opções requererem configuração especial de servidor, a maioria dos site da Web não faz uso delas.
Páginas 404 personalizadas
Servidores da web podem ser configurados para mostrarem páginas de erro personalizadas, incluindo uma descrição mais natural, a marca de um site, ou um formulário de busca. Muitas vezes os sites usam imagens bem-humoradas para aliviar a "decepção" de não encontrar a página procurada. O microblog Twitter, por exemplo, usa a imagem de uma baleia sendo carregada por pássaros.

O Internet Explorer (antes da versão 7), porém, não exibirá páginas personalizadas a menos que eles sejam maiores que 512 bytes, optando, em vez disso, por exibir uma página de erro "amigável". O Google Chrome inclui funcionalidade similar, substituindo a mensagem 404 por sugestões alternativas geradas por algoritmos do Google, se a página tiver menos de 512 bytes.

Falsa Etimologia

Circula na internet uma lenda urbana curiosa sobre a origem da expressão. Sua origem remontaria aos escritórios do CERN - Laboratório Europeu de Partículas Físicas -, com sede em Genebra, na Suíça. Nos primórdios da Web, por volta de 1980, no quarto andar do CERN, na sala 404, teria sido montado um banco de dados, controlado por três peritos em computação.

De acordo com a lenda, eles gerenciavam manualmente os pedidos de arquivos e os transferiam para os requisitantes. Quando aconteciam erros, eles alertavam: “Room 404 - File Not Found”. Mais tarde, a expressão teria sido incorporada ao mundo online pelo físico inglês Tim Berners-Lee, o criador da Web.

Anexo:Lista de códigos de status HTTP

Lista de códigos de status HTTP: http://pt.wikipedia.org/wiki/Anexo:Lista_de_c%C3%B3digos_de_status_HTTP

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quarta-feira, 10 de julho de 2013

O Paradoxo do quadrado perdido

O paradoxo do quadrado perdido
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.


Missing_square_puzzle
O Enigma do quadrado perdido

Missing_Square_Animation
O Enigma em animação
Este arquivo é uma imagem em destaque na Wikipédia em inglês (Featured pictures) e é considerado uma das melhores imagens.

O paradoxo do quadrado perdido é um enigma resultado de uma ilusão de óptica, em que são vistos dois triângulos, formados pelas mesmas peças, onde porém um triângulo aparenta ter um pequeno quadrado a menos do que o outro. A suposta hipotenusa de cada figura não é reta (apesar de parecer).
De acordo com Martin Gardner, esse enigma foi elaborado em 1953 pelo mágico amador Paul Curry, de Nova Iorque. O enigma do quadrado perdido é por isso também chamado de paradoxo de Curry (embora exista o paradoxo de Curry de teoria ingênua dos conjuntos). O princípio por trás desse tipo de paradoxo é conhecido desde pelo menos 1860.

Explicação

Antes da explicação, é necessário conhecer alguns conceitos básico de geometria com triângulos.

Triângulo
Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.


No plano, triângulo (também aceito como trilátero) é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que concorrem, duas a duas, em três pontos diferentes formando três lados e três ângulos internos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. Nesse caso, são chamados de triângulos geodésicos e têm propriedades diferentes. Também podemos dizer que o triângulo é a união de três pontos não-colineares (pertencente a um plano, em decorrência da definição dos mesmos), por três segmentos de reta.
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa (curvado na face externa) e a região externa de região côncava (curvado na face interna).

Os Tipos De Triângulos

Os triângulos mais simples são classificados de acordo com os limites das proporções relativas de seus lados e de seus ângulos internos:
  • Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
108px-Triangolo-Equilatero
Triângulo Equilátero
  • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados de mesma medida e dois ângulos congruentes. O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes.
91px-Triangle.Isósceles
Triângulo Isósceles
  • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
    120px-Triangolo-Scaleno
    Triângulo Escaleno
    Base

    Denomina-se base o lado sobre qual se apoia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente.
Todos esses triângulos são os mesmos encontrados num plano de duas dimensões, porem em grandes extensões, como na superfície do planeta por exemplo, os ângulos para continuarem os mesmos é necessário que o comprimento dos lados sejam deformados ou seja ampliados em igual proporção ao perímetro da esfera.  
  • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares (ou seja, sua soma é igual a 90°).
  • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos.
  • Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos(formando 180°).
   Tipos de triângulos 2

Condição de existência de um triângulo

Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas.
|b-c| < a < b+c

Fatos básicos

Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C..

- Um triângulo é um polígono.

- Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo são paralelos entre si. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

- Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria.

- Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.

- Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a 32ª proposição de Euclides afirma que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Por exemplo:
\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ
Triangulo180º
Triângulo 180º
- Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma transversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180º.

- Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.

Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-se afirmar que: e = \alpha + \beta

Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira:

c^2 = a^2 + b^2
   
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.
O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:
c^2 = a^2 + b^2 - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \gamma
Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.
A lei dos senos diz:
\frac{\mathrm{sen}\,\alpha}a=\frac{\mathrm{sen}\,\beta}b=\frac{\mathrm{sen}\,\gamma}c=\frac1d
onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.

Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 1:1:\sqrt{2}.

O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: 1:\sqrt{3}:2.

Área do triângulo
Produto Base Altura

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:

onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.

 Triângulos equiláteros
Se o triângulo for equilátero de lado l, sua área A pode ser obtida com:
A = {l^2 \sqrt{3}\over 4}.
Ou então usando sua altura h e a fórmula da base vezes a altura. A altura h de um triângulo equilátero é:
h = {l \sqrt{3}\over 2}.
Vale notar que essas duas fórmulas para os triângulos equiláteros são obtidas usando as funções seno ou cosseno e usando a altura do triângulo, que o divide ao meio em dois triângulos retângulos iguais.

De volta para a Explicação


Wedge_goed
Cunha Goed
Descrição

Os dois triângulos formados por peças coloridas parecem ter a mesma área de 13 quadradinhos (base) x 5 quadradinhos (altura) : 2 (ou x 1/2):



As peças de cada triângulo formado por peças:
  • Um triângulo (aqui azul) com área de 5 quadradinhos (base) x 2 quadradinhos (altura) : 2 (ou x 1/2):



    Outro triângulo (aqui vermelho) com área de 8 quadradinhos (base) x 3 quadradinhos (altura) : 2 (ou x 1/2):

  • Duas outras figuras (aqui, uma laranja e a outra verde), que juntas tem o tamanho de um retângulo com um lado com 5 quadradinhos e o outro lado com 3 quadradinhos
- a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura A = l^2 \,\!.
5\cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 15\ \mathrm{cm^2}
- área que é a soma de
1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 2\ \mathrm{cm^2}\ =\ 7\ \mathrm{cm^2} da figura amarela
1 \cdot 5\ \mathrm{cm^2}+1 \cdot 3\ \mathrm{cm^2}\ =\ 8\ \mathrm{cm^2} da figura verde
Embora ambos sejam visualmente triângulos de mesmo tamanho com sub-áreas idênticas, no segundo triângulo há um quadrado de área 1 \times 1\ \mathrm{cm^2} restando.
Solução
A soma das áreas das peças resulta em uma área de 5\ \mathrm{cm^2}+12\ \mathrm{cm^2}+7\ \mathrm{cm^2}+8\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32\ \mathrm{cm^2}

No entanto, um triângulo com lados 13 e 5 deve ter uma área de
13\cdot5\cdot\frac{1}{2}\ \mathrm{cm^2}\ = \ 32,5\mathrm{cm^2}.

Assim, está dada a prova matemática de que o dado triângulo não pode ser formado por essas peças.

O paradoxo se deve a diferença entre os ângulos dos triângulos azul e vermelho (eles não são triângulos similares). Portanto, a hipotenusa não é uma reta. Matematicamente, isso pode ser provado da seguinte maneira:
  • Triângulo azul:
    \arctan\left(\frac{2}{5}\right)=\arctan\left(0,4\right)=21,8\,^{\circ}

  • Triângulo vermelho:
    \arctan\left(\frac{3}{8}\right)=\arctan\left(0,375\right)=20,56\,^{\circ}

  • Ângulo de um triângulo com catetos 13 e 5:
    \arctan\left(\frac{5}{13}\right)=\arctan\left(0,385\right)=21,04\,^{\circ}
Disso percebe-se que o lado de cima não é uma linha reta. Portanto, a figura composta não é realmente um triângulo, mas sim um quadrilátero.

Figuras enganosas como essa podem também ser formadas com outras proporções. As dimensões inteiras dos lados das figuras de cima: 2, 3, 5, 8 e 13; são cinco números consecutivos da sequência de Fibonacci. Muitas outras figuras, que apresentam o mesmo fenômeno, também são feitas com outros números consecutivos na sequência de Fibonacci.

Seqüência de Fibonacci

A sequência tem o nome do matemático pisano do século XIII Leonardo de Pisa, conhecido como Leonardo Fibonacci, e os termos da sequência são chamados números de Fibonacci. Os números de Fibonacci são, portanto, os números que compõem a seguinte sequência de números inteiros:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

Fórmula de Fibonacci

Com esta fórmula podemos montar a sequência de Fibonacci:

Blocos de Fibonacci
Blocos de Fibonacci

 Fontes:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_do_quadrado_perdido
https://pt.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A2ngulo
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci
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sábado, 6 de julho de 2013

Livro: Ideias geniais na matemática - Surendra Verma

Dica Língua Afiada... de literatura matemática:

Ideias geniais na matemática - Maravilhas, curiosidade, enigmas e soluções brilhantes da mais fascinante das ciências

Grupo Editorial Autêntica


    Maravilhas, curiosidade, enigmas e soluções brilhantes da mais fascinante das ciências

    FIcha técnica do livro
    Título original:
    The Little Book of Maths Theorems, Theories & Things
    Páginas:
    176
    Formato:
    15,5 x 22,5
    Acabamento:
    brochura
    Editora:
    Editora Gutenberg
    ISBN:
    9788582350652
    Código:
    11310
    Área temática:
    Guias & Livros de Referência
    Edição:
    1
    R$ 31,90

    Surendra Verma Tradução: Amanda Pavani 

    Sinopse
    Um dia, uma pessoa aproximou-se do célebre matemático norte-americano Ralph P. Boas Jr., após uma palestra feita por ele, e disse: “Você faz a matemática parecer divertida”. Sua resposta foi: “Se não for divertida, por que trabalhar com ela?”.
    Ao percorrer estas páginas, de fato você descobrirá que a matemática não é aquela matéria assustadora e complicada que tanto assombra os estudantes, mas sim um divertido e fascinante conjunto de ideias geniais utilizadas para explicar o mundo em que vivemos.
    Você encontrará uma coleção única de teorias, teoremas, curiosidades, conjecturas, regras, fatos, fórmulas, paradoxos, falácias e enigmas de uma maneira como nunca viu. Anedotas, citações, rimas e poemas dão um tempero especial ao texto, mostram o lado inusitado dos números e apresentam pessoas que acrescentaram, nas palavras de Roger Bacon, “coisas a este mundo impossíveis de entender sem o conhecimento da matemática”.
    Com explicações curtas, simples e sagazes, que não exigem qualquer experiência com matemática, você fará um incrível passeio por essa ciência intrigante e entenderá melhor por que ela é tão deslumbrante. Prepare-se para ver o mundo de outra maneira.

    • Autora

      É jornalista especializado na área de ciências e divulgação cientifica. É autor de vários livros populares sobre ciências, publicados em diversos países, entre eles Ideias geniais – Os principais teoremas, teorias, leis e princípios científicos de todos os tempos, lançado no Brasil pela Editora Gutenberg. É membro honorário da associação de jornalistas australianos e também escreve artigos sobre ciências para leigos. Por seu trabalho, já recebeu alguns prêmios, como os concedidos em 2004 e 2007 pelo Literature Board of the Australia Council for the Arts, em reconhecimento aos seus escritos criativos em não ficção. Mora em Melbourne, na Austrália, e mantém o site Surendra Verma

      Outros livros destes autores

      Os principais teoremas, teorias, leis e princípios científicos de todos os tempos
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    quinta-feira, 4 de julho de 2013

    Animação: Meat-A-Morphosis

    Animação: "Meat-A-Morphosis"

    Uma introdução às funções

    Legendado em português. 

    A Máquina de Função
    para manipular números.

    Uma animação espirituosa de Jason Ermer, publicada em 01/2010 no Youtube, onde através de uma analogia crítica com a produção de alimentos e de fast foods, é possível compreender o conceito da função matemática f(x), e a relação entre dois elementos.

    • Efetuei a tradução e a inserção das legendas, procurando preservar o significado da informação.
    Link original:
    Máquina de Função
    Créditos de Meat A Morphosis
    Conceito:
    Jason Ermer
    Patty Hill
    T. Michael Word
    História:
    Jason Ermer
    Patty Hill
    Produção:
    Jason Ermer
    Nuggetizer
    Do produtor:
    "Um desenho animado sobre a proverbial "máquina de função" matemática. Eu fazia parte da equipe criativa de professores de matemática (incluindo Patty Hill e Michael Word) que criou este desenho animado. Ele era originalmente (e ainda é) um componente do "Honors Algebra 1" do currículo da Kealing Middle School, em Austin, Texas. Eu assumo total responsabilidade pelo erros de ortografia. (Você pode encontrá-los? :)"


    Nuggetizer em ação
    Termos matemáticos curiosos da animação:

    asymptote: assintótica.
    - para uma curva plana, é uma linha em que a distância entre um ponto P sobre a curva e a linha aproxima-se de zero, quando a distância do ponto P à origem aumenta indefinidamente;
    - em ciência da computação e matemática aplicada, particularmente a análise de algoritmos, análise real, e engenharia, análise assintótica é um método de descrever o comportamento de limites.

    leminscate: lemniscata.
    - a Lemniscata de Bernoulli é a curva algébrica do quarto grau de equação cartesiana;
    - a curva tem a forma similar ao numeral 8 e o símbolo de infinito ().

    vinculum: vínculo.
    - é o nome utilizado em inglês para o nosso famoso traço, utilizado para separar o numerador do denominador em uma fração;

    - também é utilizado para mostrar os termos de repetição em uma fração contínua periódica;

    - o vínculo foi desenvolvido no século 12 pelo matemático marroquino Abu Bakr al-Hassar.

    soylent Green: trocadilho entre soy (soja) e lentil (lentilha).

      Soylent Green 
      Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
      (br: No Mundo de 2020 / pt: À Beira do Fim) é um filme estadunidense de 1973, do gênero ficção científica, dirigido por Richard Fleischer.
      No ano de 2022, a cidade de Nova Iorque conta com 40 milhões de habitantes. Para alimentar as inúmeras pessoas pobres e desempregadas, existem tabletes verdes chamados de Soylent Green, produzidos inicialmente através da industrialização de algas. Somente os ricos tem acesso a comidas raras, como carnes, frutas e legumes. Quando um rico empresário das indústrias Soylent Corporation é assassinado em seu luxuoso apartamento, o detetive policial Robert Thorn começa a investigar. Ele de imediato suspeita do guarda-costas do empresário, que alega ter saído na hora do crime. Após interrogá-lo, Thorn vai ao apartamento dele e encontra coisas suspeitas, como uma colher com restos do caríssimo morango. Enquanto Thorn persegue o guarda-costas, seu idoso parceiro Sol começa a investigar os registros e papéis do empresário morto. E acaba descobrindo uma verdade estarrecedora.

      Interpretações do filme
      O segredo que o poderoso empresário conhecia colocava em risco toda a ordem social reinante, porque falava da possibilidade da destruição da vida no nosso planeta.
      No estado de natureza, as mulheres bonitas foram transformadas em mobílias, a contenção das aglomerações humanas passou a desprezar os direitos individuais, os campos se tornaram em propriedade de poucos ricos e os alimentos mais banais só poderiam ser consumidos pelos que poderiam pagar por eles. O alerta continua.

      Elenco principal

      Charlton Heston........Robert Thorn
      Edward G. Robinson.....Sol Roth
      Joseph Cotten..........William R. Simonson
      Chuck Connors..........Tab Fielding
      Brock Peters...........Tenente Hatcher

      "squinchitude":
      bem... esse termo não existe...uma brincadeira no vídeo... ☺
        Função
        Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
        https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o

        Função é um dos conceitos mais importantes da matemática. Existem várias definições, dependendo da forma como são escolhidos os axiomas. Uma relação entre dois conjuntos, onde há uma relação entre cada um de seus elementos. Também pode ser uma lei que para cada valor x é correspondido por um elemento y, também denotado por ƒ(x).
        Existem inúmeros tipos de funções matemáticas, entre as principais temos: função sobrejetora, função injetora, função bijetora, função trigonométrica, função linear, função modular, função quadrática, função exponencial, função logarítmica, função polinomial, dentre inúmeras outras. Cada função é definida por leis generalizadas e propriedades específicas.

        Algumas das funções mais conhecidas:

        Funcao venn.svg
        Injetora ou injetiva
        Surjection.svg
        Sobrejetora ou sobrejetiva
        Bijection.svg
        Bijetora ou bijetiva











        Injetora ou injetiva - Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, isto é, quando x  ≠ y no domínio tem-se f(x) ≠ f(y) no contradomínio.

        Sobrejetora ou sobrejetiva - Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.

        Bijetora ou bijetiva - São ao mesmo tempo sobrejetoras e injetoras, isto é, cada elemento do domínio está associado a um único elemento do contradomínio e vice-versa.
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